Inserir conteúdo

Hp-Adaptive methods have been available for more than one decade [6]. Thus far, the choice of h, p or hp-refinement has been based on the a-priori knowledge of the regularity of the solution and their corresponding optimal sequence of refinement pattern [4].

The proposed strategy is implemented within the object oriented environment PZ for the development of scientific software. The following capabilities of the PZ environment were either used or added:

• Transfer of solution between meshes. A method for computing a transfer matrix between meshes is implemented based on the projection of the interpolation space of the coarse mesh onto the fine mesh;
• Development of a block diagonal preconditioner for the acceleration Krylov iterative methods; * Development of a solution class which implements the multigrid iteration process;
• A class which implements a one dimensional optimal hp refinement analysis based on the comparaison of all possible refinement patterns.

These interfaces are used to implement and edge-based adaptive hp-refinement strategy. The results show that the adaptive strategy is able to produce hp refined meshes with exponential convergence rates, even for singular problems.

Several examples show the generality and aplicability of the strategy for different simulations.

Nos problemas de placas, têm-se que na equaçào do Princípio dos Trabalhos Virtuais o trabalho das forças internas é calculado como a integral no volume dos esforços solicitantes multiplicados pelas variações dos deslocamentos generalizados. Essa integral de volume pode ser escrita como uma integral, na área A da placa, da integral na espessura h, de um integrando formado pela soma de parcelas dadas pela multiplicação da variação de deslocamentos generalizados pelos correspondentes esforços solicitantes.

Apresenta-se neste trabalho uma formulação em desenvolvimento pelos autores para estudo de placas multi-camadas, tomando-se como deslocamentos independentes de um ponto da placa as 3 componentes de translação, medidas em relação a uma superfície de referência e as 3 componentes da rotação de cada camada de constituição da placa, medidas ao longo de uma linha perpendicular ao plano da placa. Assim, cada ponto tem 3(ne=1) deslocamentos independentes, onde ne é o número de camadas.

O elemento finito de placa formulado foi implementado num programa denominado PZ, em desenvolvimento na UNICAMP. Essa mesma formulação também está sendo estendida para elementos curvos descritos em coordenadas cilíndricas, utilizando-se para isso funções de mapeamento dos Jacobianos descritas de uma forma espacial.

O trabalho apresenta os principais conceitos da formulação em estudo e alguns aspectos do pós-processamento da placa multi-camada com liberdade de rotações das várias camadas.

Neste trabalho apresenta-se a implementação multidimensional h-p adaptativa para o método dos elementos finitos. Isto significa que uma simulação de elementos finitos que inclua elementos uni, bi e tri dimensionais pode ser refinada arbitrariamente em h e p. Visto que a estrutura do programa separa a geração do espaço de interpolação da formulação variacional, o método h-p adaptativo pode ser aplicado a uma variedade de simulaçãoes de elementos finitos.

O ambiente de elementos finitos PZ vem sendo desenvolvido pelo primeiro autor por vários anos.

Este projeto foi estruturado várias vezes para torná-lo mais geral e dividí-lo em componentes reutilizáveis.

Assim sendo, PZ inclui pacotes (conjunto de classes correlatas) do tipo utilitárias, matriciais, reordenação de gráficos, definição de formulações variacionais, funções de forma e geração de malhas h-p adaptativas de elementos finitos.

O tema de doutorado do segundo autor foi o estudo do refinamento h e p adaptativo como conceito abstrato, sendo aplicado a diferentes elementos.

Como resultado, o ambiente PZ permite aplicar adaptatividade h-p a elementos linear, quadrilátero, triângulo, hexaedro, prisma, tetraedro e pirâmide.

No trabalho apresentam-se os padrões de refinamento para vários tipos de elementos e definição das suas funções de forma.

Como exemplo de aplicação, mostra-se uma aproximação para o problema não-linear hiperelástico tridimensional, utilizando espaços de aproximação h-p adaptativos.

This contribution gives an overview of current research in applying object oriented programming to scientific computing at the computational mechanics laboratory (LABMEC) at the school of civil engineering – UNICAMP. The main goal of applying object oriented programming to scientific computing is to implement increasingly complex algorithms in a structured manner and to hide the complexity behind a simple user interface. The following areas are current topics of research and documented within the paper: hp-adaptive finite elements in one-, two- and three dimensions with the development of automatic refinement strategies, multigrid methods applied to adaptively refined finite element solution spaces and parallel computing.