Inserir conteúdo

Descrevem-se de uma maneira formal os conceitos matemáticos que permitem implementar um refinamento uni, bi e tri-dimensional h-p adaptativo para o método dos elementos finitos. Estes conceitos são implementados em código orientado para objetos.

O primeiro conceito introduzido é o de transformação geométrica, definindo-se o mapeamento entre um elemento de referência e o elemento deformado em R3. Em seguida estende-se o conceito de lado de um elemento finito que em função do seu contexto pode representar um canto, uma aresta, uma face e um volume. Pode-se então associar-se funções de forma aos lados de um elemento e para uma malha refinada, definem-se lados restritos. Mostra-se ainda o procedimento para a aplicação de restrições no espaço de funções de forma associado ao lado de um elemento. Finalmente estabelece-se a correspondência entre os métodos das classes do ambiente PZ orientado para objetos e os conceitos matemáticos elaborados.

Nos problemas de placas, têm-se que na equaçào do Princípio dos Trabalhos Virtuais o trabalho das forças internas é calculado como a integral no volume dos esforços solicitantes multiplicados pelas variações dos deslocamentos generalizados. Essa integral de volume pode ser escrita como uma integral, na área A da placa, da integral na espessura h, de um integrando formado pela soma de parcelas dadas pela multiplicação da variação de deslocamentos generalizados pelos correspondentes esforços solicitantes.

Apresenta-se neste trabalho uma formulação em desenvolvimento pelos autores para estudo de placas multi-camadas, tomando-se como deslocamentos independentes de um ponto da placa as 3 componentes de translação, medidas em relação a uma superfície de referência e as 3 componentes da rotação de cada camada de constituição da placa, medidas ao longo de uma linha perpendicular ao plano da placa. Assim, cada ponto tem 3(ne=1) deslocamentos independentes, onde ne é o número de camadas.

O elemento finito de placa formulado foi implementado num programa denominado PZ, em desenvolvimento na UNICAMP. Essa mesma formulação também está sendo estendida para elementos curvos descritos em coordenadas cilíndricas, utilizando-se para isso funções de mapeamento dos Jacobianos descritas de uma forma espacial.

O trabalho apresenta os principais conceitos da formulação em estudo e alguns aspectos do pós-processamento da placa multi-camada com liberdade de rotações das várias camadas.

Neste trabalho apresenta-se a implementação multidimensional h-p adaptativa para o método dos elementos finitos. Isto significa que uma simulação de elementos finitos que inclua elementos uni, bi e tri dimensionais pode ser refinada arbitrariamente em h e p. Visto que a estrutura do programa separa a geração do espaço de interpolação da formulação variacional, o método h-p adaptativo pode ser aplicado a uma variedade de simulaçãoes de elementos finitos.

O ambiente de elementos finitos PZ vem sendo desenvolvido pelo primeiro autor por vários anos.

Este projeto foi estruturado várias vezes para torná-lo mais geral e dividí-lo em componentes reutilizáveis.

Assim sendo, PZ inclui pacotes (conjunto de classes correlatas) do tipo utilitárias, matriciais, reordenação de gráficos, definição de formulações variacionais, funções de forma e geração de malhas h-p adaptativas de elementos finitos.

O tema de doutorado do segundo autor foi o estudo do refinamento h e p adaptativo como conceito abstrato, sendo aplicado a diferentes elementos.

Como resultado, o ambiente PZ permite aplicar adaptatividade h-p a elementos linear, quadrilátero, triângulo, hexaedro, prisma, tetraedro e pirâmide.

No trabalho apresentam-se os padrões de refinamento para vários tipos de elementos e definição das suas funções de forma.

Como exemplo de aplicação, mostra-se uma aproximação para o problema não-linear hiperelástico tridimensional, utilizando espaços de aproximação h-p adaptativos.